Conceptos básicos de funciones

1. Definición

Definimos una función como una correspondencia de manera que a un elemento x, le corresponde un único elemento y. Se representa como sigue:

                                                       f : D → R

                                                           x  → f (x) = x

Donde D es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente, x, llamado Dominio  y R es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente, y, llamado Recorrido.

¿Cómo se pueden expresar las funciones?

1) Mediante su representación gráfica

Esta es la forma en la que mejor se puede apreciar el comportamiento global de una función. Por eso, siempre que queramos analizar una función, debemos representarla gráficamente, cualquiera que sea la forma en la que nos den la función.

2) Mediante un enunciado

Cuando una función viene dada por un enunciado o una descripción, la idea que nos podemos hacer de ella es, casi siempre, poco precisa. Pero si el enunciado se acompaña con datos numéricos, la función puede quedar perfectamente determinada

3) Mediante una tabla de valores

En ocasiones nos dan los datos de una función mediante una tabla de valores en la cual se obtienen directamente los datos buscados, aunque en otros casos, hay que efectuar algunos cálculos para obtener lo que deseamos.

4) Mediante su expresión analítica

La expresión analítica es la forma más precisa y operativa de dar una función. Pero requiere un minucioso estudio posterior. 

2. Dominio de la función

Para calcular el dominio, debemos fijarnos en la expresión algebráica de la función:

Solución

3. Composición de funciones

Para componer dos funciones f y g, se puede hacer de dos formas:

 (g o f)(x) = g(f(x)) se lee f compuesta con g

 (f o g)(x) = f(g(x))  se lee g compuesta con f

Inversa de una función

Dos funciones son inversas si se cumple que:

(f o f  ^{- 1})(x) = x  

(f ^{- 1}o f )(x) = x

EJERCICIO

Sean f(x) = x^{2 -} 1 y g(x) = sen x, calcula (f o g), (g o f), f ^{- 1} y g ^{– 1}

Solución

4. Monotonía, máximos y mínimos

Una función es creciente cuando al aumentar la x aumenta la y.

Una función es decreciente cuando al aumentar la x disminuye la y.

Una función presenta un máximo absoluto en un punto cuando es el valor más alto de su representación gráfica.

Una función presenta un mínimo absoluto en un punto cuando es el valor más bajo de su representación gráfica.

Una función presenta un máximo relativo en un punto cuando en dicho punto la función pasa de creciente a decreciente.

Una función presenta un mínimo relativo en un punto cuando en dicho punto la función pasa de decreciente a creciente.

EJERCICIO

Estudia el dominio, recorrido, monotonía, máximos y mínimos de la siguiente gráfica:

Solución

EJERCICIO

Dibuja una función que pase por los puntos A (-1, 3), B (0, 1), C (2, 0), D (4, 3) y E (6, 6); de manera que A y E sean máximos; C sea un mínimo y B y D sean puntos de inflexión.

Indica en qué intervalos crece, decrece, es cóncava o convexa.
Solución

EJERCICIO

Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Entre dos puntos máximos siempre hay un mínimo.

b) Hay funciones que no tienen máximos, ni mínimos, pero sí puntos de inflexión.

c) Entre dos puntos mínimos siempre hay dos puntos máximos.

d) Una función decreciente no puede tener puntos de inflexión.

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