Geometría analítica

1. Definición de vector

Un vector fijo es un segmento orientado, tiene su origen en un punto A y su extremo en otro punto B.

Estos vectores constan de:

     - Módulo: es la longitud del segmento.

     - Dirección: es la de la recta que pasa por esos dos puntos. 
- Sentido: el vector va de A hacia B o de B hacia A.

Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Cada conjunto formado por todos los vectores equipolentes entre sí se llama un vector libre.

Cada vector fijo de este conjunto es un representante del vector libre.

2.  Operaciones con vectores  

Suma de vectores

Para sumar gráficamente dos vectores libres existen dos opciones:

    1) Trasladamos el segundo vector, haciendo coincidir su origen con el extremo del primero. El vector suma, será el vector que une el origen del primero con el extremo del segundo.

    2) Otra forma es la conocida regla del paralelogramo:
    Se unen los vectores por su origen, trazando desde los extremos de  cada vector paralelas a los vectores. El vector suma será el vector que une el origen común de los vectores con el punto de corte de las paralelas.

     Resta de vectores

Para restar dos vectores libres, se suma uno con el opuesto del otro.

Producto de un número por un vector
Al multiplicar un vector libre por un número real k se obtiene otro vector libre de la misma dirección que el anterior, módulo multiplicado por k, y mismo sentido, si k es positivo y opuesto, si k es negativo.

EJERCICIO

Solución

3. Combinación lineal de vectores 

Un vector w es combinación lineal de los vectores u y v si existen dos números a y b tal que:             

                                                       w = a ^. u + b ^.v

Varios vectores se dice que son linealmente dependientes si se pueden expresar como combinación lineal de los demás, en caso contrario, se dice que son linealmente independientes.

Dos vectores forman una base si cualquier vector se puede poner como combinación lineal de ellos.

De todas las bases del plano, trabajaremos con la base canónica, cuyos vectores son perpendiculares entre sí, miden lo mismo y son unitarios, es decir, miden 1.   

Los vectores de esta base son i = (1,0) y j = (0,1).

EJERCICIOS

1- Dados los vectores u = (1,-2) y v = (-3,5), halla el vector w = 2u-4v 

2- El vector w = (1,3), ¿se puede expresar como combinación lineal de u = (1,1) y v= (1,2)?
Solución

EJERCICIO 
Dados los vectores u (-1,2), v (0,-3)  y  w (4,2), calcula x e y tal que w = x·u + y·v
Solución

4. Módulo y producto escalar
Módulo

 

EJERCICIO

Dado el vector u = (1, 3)
a) Calcula su módulo.

b) Calcula un vector paralelo a él y unitario.

c) Calcula un vector paralelo a él y de módulo 2.
Solución
 

EJERCICIO

Dado el vector u = (-3, 4)
a) Calcula su módulo.

b) Calcula un vector paralelo a él y unitario.

c) Calcula un vector paralelo a él y de módulo 5.
Solución

 Producto escalar

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta del producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman:

EJERCICIO

Dado los vectores u = (1,-1) y v = (3,-4), calcula:
a) Su producto escalar. 
b) El ángulo que forman.

c) Calcular m para que el vector w = (m,1) sea ortogonal a u. 
Solución

EJERCICIO

Encuentra el vector unitario que forma un ángulo de 60 grados con el vector v = (0,2)
Solución

5. Ecuaciones de la recta

Para determinar una recta debemos conocer un punto P = (p₁,p₂) por el que pasa y un vector que indique su dirección, que será el vector director .

Ahora veamos las distintas formas de expresar la ecuación de una recta:

Cuando tenemos la recta en forma general, podemos conocer las coordenadas de sus vectores, el vector normal de la recta es  n = (A,B) y el vector director es v = (-B,A).

 

EJERCICIO

Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos  A = (-1,1) y B = (3,-2), de todas las formas posibles.
Solución

  
EJERCICIO 

   a) Escribe la ecuación general de la recta r que pasa por los puntos (1,0) y (3,6)

  b) Halla la ecuación de la recta s que es paralela a y = 2x que pasa por el punto (4, 4)
Solución 

6. Posiciones relativas de dos rectas

Dos rectas en el plano pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.

Hay varias formas de averiguarlo, según tengamos las rectas en forma general, explícita…

1) Las dos rectas están en forma general:

Comparamos sus coeficientes:

 

2) Las dos rectas están en forma explícita:

Comparamos sus pendientes y su ordenada en el origen:

m≠m’             => Las rectas son secantes.

m=m’ y n≠n’  =>  Las rectas son paralelas.

m=m’ y n=n’  =>  Las rectas son coincidentes.

3) Las rectas están de cualquier otra forma en la que es fácil obtener sus vectores directores y un punto de una de ellas.

Comparamos los vectores si no son iguales ni proporcionales, las rectas son secantes y si lo son, tomamos un punto de una recta y comprobamos si pertenece a la otra recta, es decir: 

Solución

EJERCICIO 
Halla los valores de B y C para que las siguientes rectas sean paralelas:
2x+By-3=0
4x+10y+C=0


7. Ángulo que forman dos rectas 
El ángulo entre dos rectas es el menor ángulo que forman éstas.
Dicho ángulo coincide con el ángulo que forman sus vectores directores.

EJERCICIO 
Calcula el ángulo que forman las siguientes rectas:
r: 5x-y+4=0 y s: y-6=0
Solución


EJERCICIO 
Calcula el ángulo que forman dos rectas, teniendo en cuenta que sus vectores directores son (-2,1) y (2,-3)

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