Potencias, radicales y logaritmos

1. Potencias

Una potencia se denota como a^x, donde a es la base y x el exponente. La base se multiplicará por sí misma tantas veces como diga el exponente.

Potencias de exponente 0   a⁰=1

Potencias de exponente 1   a¹=a

Potencias de exponente negativo   si a≠0

Operaciones 

Producto de potencias de la misma base

Se deja la misma base y se suman los exponentes   

a ^b . a ^c = a ^{b + c}

Cociente de potencias de la misma base

Se deja la misma base y se restan los exponentes 

a ^b : a ^c = a ^{b - c}

Potencia de una potencia

Se deja la misma base y se multiplican los exponentes 

 (a ^b)^c = a ^{b . c}

Potencia de un producto   
(a . b) ^c=a ^c . b ^c

Potencia de un cociente    

EJERCICIO

Expresa como una sola potencia

a) 4.4.4.4

b) 6.6.6

c) 3².3³

d) 5⁶:5³

e) (7²)⁴
Solución

Solución

3. Radicales

Una raíz se denota como:

, donde a es el radicando y n el índice.


Relación entre radicales y potencias

 

Operaciones con radicales 

Suma 

Resta     

Producto  

Cociente        

Raíz de raíz                         

EJERCICIO 
Calcula los siguientes radicales:

a) 5√2 - 3√2 + 6√2

b) √98 - √50 + √18 - √32

c) ³√2 . ³√ 4

d) ⁴√1024 / √8
e) ³√ (⁵√2)
f) ⁵√(4³√8)

Solución


EJERCICIO 
Calcula los siguientes radicales:

a) 5√45 - 3√125 + 6√20

b) √175 - √63 + 2√28 - √42

c) ³√45 . ³√75

d) ³√16 / ⁵√2
Solución

EJERCICIO

Calcula los siguientes radicales:
a) (√2 - √3) √3
b) (7 √5 + 5 √3) 2 √3

c) (2√3 + √5 - 5√2) 4√2
d) (5 + √3) (5 - √3)
Solución

EJERCICIO

Calcula los siguientes radicales:
a) 2√20 + 4√ 80 - 5√180 + 3√ 125
b) 7√28 - 4√63 + 5√ 343 - 2√7 
Solución

  

EJERCICIO

Calcula los siguientes radicales:
a)  (2√3 + 5√2) (7√3 - 2)
b)  (9√5 - 7) (9√5 + 7)
Solución 

Racionalizar

Denominador con una sola raíz

Multiplicamos el numerador y denominador por la raíz del denominador, cuyo radicando se eleva a la diferencia entre el índice y el exponente.

Denominador con una suma o diferencia

Multiplicamos el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

EJERCICIO

Racionaliza:

a) 3/√2

b) 6/⁵√3 ²

c) 7 / (√2-2) 

d) √5 / (√2+√3)

Solución


EJERCICIO 
Racionaliza:

a) 5 / 3√2

b) 4 / ⁶√5 ²

c) 3 / (√6 - 2)

d) √7 / (√5 +√2) 
Solución

3. Logaritmos

Para trabajar con logaritmos, necesitamos saber sus propiedades:
log_a1 = 0
log_a x = b <=> a^b = x
log_a N + log_a M = log_a (N ^. M)
log_a N - log_a M = log_a (N / M)
m log_a N = log_a N^m          

EJERCICIO

Aplicando las propiedades de los logaritmos, desarrolla las siguientes expresiones:

a) log (10ab)²
b) log 5a/2
c) log ³√ (4ab/c)
d) log 5√2a / 3
Solución

EJERCICIO

Aplicando las propiedades de los logaritmos, desarrolla las siguientes expresiones:

a) log (8ab)³ 
b) log ab/4c 
c) log ⁴√ (16ab/c)
Solución

EJERCICIO

Aplicando las propiedades de los logaritmos, reduce los siguientes desarrollos:
a) log a - log b + log c
b) 1/2 log a - 1/2 log 3b
c) 5 log a - 3 log b + 2 log c
d) log 1/3 + log 27 + log 1/9
Solución

EJERCICIO

Aplicando las propiedades de los logaritmos, reduce los siguientes desarrollos: 
a) log a +2 log b - 4 log c
b) 1/4 log 3a - 1/4 log b
c) log 1/4 + log 32 + log 1/16
Solución

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