Dos
figuras son semejantes si tienen la misma forma:
- Los
ángulos correspondientes son todos iguales.
- Los
segmentos correspondientes son proporcionales.
La razón de
proporcionalidad se llama razón de semejanza.
La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es
igual al cuadrado de la razón de semejanza.
La razón entre los volúmenes de dos figuras semejantes es
igual al cubo de la razón de semejanza.
Por tanto,
si la razón de semejanza entre dos figuras es k, la razón entre sus áreas es k2
y la razón entre sus volúmenes k3.
2. Teorema de Tales
Dadas dos rectas secantes y
varias paralelas que las corten, los segmentos que se forman en una recta son
proporcionales a los que se forman en la otra.
EJERCICIO
Sabiendo que L1,
L2 y L3 son paralelas, que el lado AB mide 6 cm, el AC
mide 10 y el EF 5, ¿cuánto mide el lado DE?
EJERCICIO
Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 metros; si el primer piso tiene una altura de 15 metros y el segundo piso una altura de 10 metros ¿cuánto mide la sombra proyectada por el segundo piso? ¿Y la del primero?
Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 metros; si el primer piso tiene una altura de 15 metros y el segundo piso una altura de 10 metros ¿cuánto mide la sombra proyectada por el segundo piso? ¿Y la del primero?
Solución
EJERCICIO
Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 12 m, mientras que otro árbol que mide 2,5 m proyecta una sombra de 4 m
Solución
EJERCICIO
Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 12 m, mientras que otro árbol que mide 2,5 m proyecta una sombra de 4 m
Solución
3. Triángulos semejantes
Dos triángulos semejantes tienen:
• Sus lados proporcionales:
• Sus ángulos, respectivamente
iguales:
 = Â’; B = B’;
C = C’
EJERCICIO
Los lados de un triángulo
miden 3 cm,4 cm y 5 cm respectivamente. Se quiere construir otro semejante a él
pero cuyo lado menor mida 15 cm.
a) ¿Cuál será la razón de
semejanza?
EJERCICIO
De las siguientes parejas de triángulos conocemos los lados, determina cuales son semejantes y cuales no lo son. En caso afirmativo indica la razón de semejanza:
a) 40, 30, 50 y 120, 90, 150
b) 7, 7, 7 y 20, 20, 20
c) 50, 60, 70 y 6, 7, 8
d) 10, 5, 15 y 6, 3, 9
De las siguientes parejas de triángulos conocemos los lados, determina cuales son semejantes y cuales no lo son. En caso afirmativo indica la razón de semejanza:
a) 40, 30, 50 y 120, 90, 150
b) 7, 7, 7 y 20, 20, 20
c) 50, 60, 70 y 6, 7, 8
d) 10, 5, 15 y 6, 3, 9
EJERCICIO
Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina?
Solución
4. Criterios de semejanza de triángulos
Se llama
criterio de semejanza de dos triángulos a un conjunto de condiciones tales que,
si se cumplen, sabremos que los
triángulos son semejantes:
PRIMER
CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si
tienen dos ángulos iguales.
SEGUNDO
CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si
sus lados son proporcionales:
TERCER
CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si
tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.
5. Consecuencias del
criterio de semejanza de triángulos
5.1. Teorema de la altura
5.1. Teorema de la altura
Dado
un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual
al producto de las longitudes de los segmentos que determina sobre dicha
hipotenusa.
5.2. Teorema del cateto
En
un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la
hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre ella.
b2=m.a
c2=n.a
EJERCICIO
En el siguiente triángulo rectángulo en A, calcula la medida de los
lados y la altura.
EJERCICIO
Un triángulo rectángulo tiene por catetos 3 cm y 4 cm. Halla la hipotenusa, las proyecciones y la altura sobre la hipotenusa.
Solución
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