Fórmulas y funciones trigonométricas

 1. Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

 Seno de la suma

 Coseno de la suma

 

Tangente de la suma

 EJERCICIOS

1- Calcula las razones trigonométricas de 75º

2- Sabiendo que senα = √3 / 2, donde α pertenece al intervalo [П/2, П] y que cosβ = 1/2, donde β pertenece al intervalo [3П/2,2 П].

Calcula las razones trigonométricas del ángulo α + β

Solución

EJERCICIO
Sabiendo que sen 56° = 0,83 y cos 23° = 0,92.
Halla las razones trigonométricas de 79°
Solución

 2. Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

 Seno de la diferencia

 

Coseno de la diferencia

 

Tangente de la diferencia 

 EJERCICIOS 

1- Calcula las razones trigonométricas de 15º

2- Sabiendo que senα = √3 / 2, donde α pertenece al intervalo [П/2, П] y que cosβ = 1/2, donde β pertenece al intervalo [3П/2,2 П].

Calcula las razones trigonométricas del ángulo α - β .   

Solución

EJERCICIO

Sabiendo que sen 56° = 0,83 y cos 23° = 0,92.
Halla las razones trigonométricas de 33°
Solución

 3. Razones trigonométricas del ángulo doble

Seno del ángulo doble

 

Coseno del ángulo doble

 

Tangente del ángulo doble 

  

 

EJERCICIOS

1- Sabiendo que senα = 4 / 5, donde α pertenece al intervalo (П/2, П). Calcula las razones trigonométricas del ángulo 2α.

2- Sabiendo que cosα = -1 / 2, donde α pertenece al intervalo (П, 3П/2). Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo 2α.

Solución

EJERCICIO
Sabiendo que cos 23° = 0,92. Halla las razones trigonométricas de 46°
Solución


4. Razones trigonométricas del ángulo mitad

  

Seno del ángulo mitad

 

Coseno del ángulo mitad

Tangente del ángulo mitad

 EJERCICIOS

1- Sabiendo que tgα = -√3, donde α pertenece al intervalo (3П/2, 2П). Calcula las razones trigonométricas del ángulo α/2.

2- Calcula las razones trigonométricas del ángulo П/8.

Solución


EJERCICIO
Sabiendo que cos 56° = 0,56. Halla las razones trigonométricas de 28°
Solución



5. Identidades trigonométricas

Las identidades trigonométricas son igualdades en las que aparecen razones trigonométricas.

Para demostrar dichas identidades conviene partir de uno de los miembros de la igualdad y operar hasta llegar al otro miembro.

En general la forma de desarrollar las identidades trigonométricas se puede hacer de tres maneras, dependiendo del tipo de identidad debemos aplicar una de ellas:

a) Se puede partir del primer miembro y llegamos al segundo haciendo operaciones y sustituyendo las identidades por alguna fórmula trigonométrica, que nos sirva para simplificar los cálculos.

b) Se puede partir del segundo miembro y llegamos al primero haciendo operaciones y sustituyendo las identidades por alguna fórmula trigonométrica, que nos sirva para simplificar los cálculos.

c) Se opera en los dos miembros haciendo operaciones y sustituyendo las identidades por alguna fórmula trigonométrica, que nos sirva para simplificar los cálculos. Hasta llegar a una igualdad evidente.

En esta clase de ejercicios nunca se pasan los términos

de un miembro a otro de la igualdad, en consecuencia, los términos siempre permanecen en el mismo miembro.

     
EJERCICIO

Solución


EJERCICIO
Demuestra que se verifican estas igualdades:
a) 1 + sen 2α= 2 sen (α+ 45°) cos (α−45°) 

b) sen α sen (α−β) + cos α cos (α − β) = cos β 
Solución

 6. Ecuaciones trigonométricas

Para resolver ecuaciones trigonométricas tenemos que sustituir las fórmulas que nos vayan apareciendo.

Debemos seguir los siguientes pasos:

1. Expresar todas las funciones trigonométricas en función de una sola, utilizando las relaciones trigonométricas fundamentales.

2. Las funciones trigonométricas se deben aplicar a la misma incógnita, por ejemplo, si tenemos sen 3x, debemos ponerlo como senx.

2. Resolver la ecuación resultante.

3. Comprobar todas las soluciones que obtengamos en la ecuación original.

EJERCICIOS

1- Resuelve  sen2x=0tg x −sen 2x = 0

2- Resuelve sen ²α - cos²α = 1/2 

Solución

EJERCICIO

Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) tg x −sen 2x = 0
b) cos 2x −sen 2x = 0 
Solución

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